皮克定理

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一张方格纸上,如许两组平行线的交点,就是所谓格点。若是取一个格点做原点O,如图1,取通过这个格点的横向纵向两直线别离做横坐标轴OX和纵坐标轴OY,并取本来方格边长单元长,成立一个坐标系。这时前面所说的格点,明显就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。因为这个来由,我们又叫格点为整点。

一个多边形极点若是满是格点,这多边形就叫做格点多边形。风趣的是,这种格点多边形的面积计较起来很便利,只需数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目,就可用公式算出。

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的,被称为“皮克定理”,这是一个适用而风趣的定理。

由于所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形

亦合适皮克公式(I),以及三角形合适皮克公式(II),就可按照数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

所有三角形(由于它们都可内接于矩形内,将矩形朋分成原三角形和至少3个第二点提到的直角三角形)。

逆使用前面临2个多边形的证明: 既然矩形合适皮克定理,直角三角形合适皮克定理。又前面证明到若P,T合适皮克公式,则 P加上T的PT亦合适皮克公式。 那么因为矩形能够分化成1个肆意三角形和至少三个直角三角形。 于是明显有,只要当这个肆意三角形也合适皮克定理的时候,才会使得在直角三角形合适的同时,矩形也合适。

证明Farey序列的一个奇异的性质:前一项的分母乘当前一项的分子,必然比前一项的分子与后一项分母之积大1。

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